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III     LA DICHOTOMIE :    OUTIL DE CALCUL ET   DE  DEMONSTRATION

                        Karl                           
Karl Weierstrass    a réalisé au XIX° siècle la démonstration de bon nombres  des théorèmes d'analyse en utilisant la dichotomie. 
Voici un extrait de la démonstration du théorème de Bolzano par dichotomie
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                                                    INTRODUCTION                                                           page 2

Chapitre 1   Le théorème de BOLZANO                                                           page9

                      I   Problématique (ACTIVITE)                    

         II  Le théorème de Bolzano ( COURS)

Chapitre 2        Le théorème des valeurs intermédiaires:                                page 15

                       I   Evidences graphiques et approximation des solutions. (ACTIVITE),

                II  Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (COURS),

                III Fonctions  continues et strictement monotones sur [ab] (COURS)

                IV Isoler les zéros d’une équation du troisième degré. (T.P.)

                       V Théorèmes admis sur les fonctions continues,                                          

                VI Fonctions racines n-ièmes (COURS)

Chapitre 3   Discussion de l’équation du troisième degré (TP)                       page 21

Chapitre4   Compléments sur les dérivées en TS.                                               Page 23

Formulation du problème sur exemples.

1°Piste ( ACTIVITE ET COURS) 

                                       I  Principe de Lagrange                                   page 26

                                                         II  Inégalité des accroissements finis

2°Piste(COURS) 

                       I Théorème de Rolle                                                      page 31                                          

                                  II Théorème des accroissements finis et Principe de Lagrange

Chapitre 5              I  Enoncé du problème: « Existence d’un point fixe  »         page 33

                           II Travaux pratiques: reprise des exemples  (chap4 Activité)

ANNEXES                                                                                                             

Annexe 1        Eléments de solutions du I et II, chapitre 1                                           page 37

 Annexe 2      Eléments de solutions du problème, chapitre 3                                  page 39

 Annexe 3       Eléments de solution de l'activité et du I A, chapitre 4                       page 41

 Annexe 4      Eléments de solution du problème, chapitre 5                         page 43           

PRESENTATION

Depuis le début du siècle, l’enseignement de l’Analyse au lycée a subi bien des évolutions, et des éclipses.. et des retours. Au cours des dernières années, à partir de 1983, le corpus d’Analyse est devenu prépondérant en classe  terminale scientifique; en même temps s’affirmait une volonté d’ouverture des Lycées au plus grand nombre.

                             Beaucoup de nos élèves, en fin de cursus au Lycée, qui plus est, en Terminale S, ont des difficultés croissantes à suivre une démonstration, à en reconnaître la légitimité même. Dernièrement, un enseignant de biologie en TS regrettait que beaucoup de ses élèves  ne maîtrisaient plus les relations de cause à effet. Ce constat, parmi d'autres, confirme pour moi la nécessité d'une remise en cause de notre pratique actuelle de l'apprentissage du raisonnement et de la démonstration; au collège, puis au lycée. L'évolution de nos pratiques, que les dernières réformes, depuis 1990, nous ont suggérée, va-t-elle dans la direction d'un savoir maîtrisé et fécond pour l'avenir de nos élèves?

Voyons ce qu'il en est de l'enseignement de l'Analyse au  Lycée actuellement.                               - En Terminale S, le lycéen admet tous les théorèmes d'Analyse. Ces énoncés sont précédés d'exemples d'introduction, et suivis d'exercices d'applications appelés "travaux pratiques". Tout d'abord, est-il bien sage de lui demander d'utiliser dans un processus déductif, lors des " Travaux pratiques", des propriétés ou des concepts dont il n'a pas saisi, très souvent, le sens, la finalité, bien qu'il en connaisse l'énoncé? Certains assurent qu'à l'occasion de ces T.P, il " Démontre" et "Déduit". Mais alors pourquoi ces difficultés à raisonner citées plus haut? Si on veut bien reconnaître qu'il y a là un problème, qu'il se pose bien avant la terminale, que les enseignants  post-bac en signalent les effets néfastes; une réflexion s'impose. Certes les raisons en sont multiples, conjoncturelles, pour éclairer le sujet, faisons un bref  retour en arrière.

                                  - Pour ceux qui, comme moi, ont enseigné dans les années 70, je comprends très bien où nous a conduit l'excès des structures, la volonté d'une construction de type "Bourbakiste" et la généralisation excessive du vocabulaire de la théorie des ensembles, de la maternelle à l'université, si l'on peut dire. Je n'y reviens pas, le sujet a été très bien et très souvent traité. Une "contre-réforme" était nécessaire, ce fut fait, et au début des années 80. Bien que ce soit au détriment de la géométrie, la prépondérance donnée à l'Analyse était accompagnée d'une telle cohérence, tenant compte des nouveaux outils, l'ordinateur ou la calculatrice programmable; les arguments étaient d'une telle qualité que plus d'un enseignant a travaillé avec plaisir dans ce nouveau contexte. J'en fus.

Mais depuis, hélas, en 10 ans d'appauvrissement continu, on peut dire, en caricaturant ,que le programme de 94 n'est que le squelette de celui de 84. Après l'excès de formalisme des années 70, faut-il, pour autant tomber, comme c'est souvent le cas chez nous, dans l'excès contraire? Je veux d'abord retenir, dans le programme actuel de juin 94, cette opposition à toute formalisation de l'Analyse, ce refus quasi systématique de toute "Démonstration" de théorème important, en Terminale S. Ceci nous conduit à un  passage, quasi direct, de l'activité préparatoire à l'application des propriétés admises. Pourquoi en sommes-nous là. Est-ce la voie d'un progrès? Argumentons avec l'esprit d'ouverture qui n'écarte pas  la conviction.

                       a) En tant que praticien, comme de nombreux collègues, j'avais compris depuis quelque années, que la terminale C était condamnée à terme. En effet, l'ouverture du "savoir" au plus grand nombre, objectif de toute véritable démocratie, s'est faite essentiellement par l'augmentation des effectifs des classes de seconde des Lycées. Cette évolution a-t-elle été suffisamment pensée? La diversité possible des voies post-collège a-t-elle été bien envisagée et étudiée dans sa réalisation pratique? Toujours est-il que la classe  de Terminale C est devenue, progressivement, par la force des choses, une classe refuge des "bons élèves", quelque soit par ailleurs leurs aptitudes en Mathématiques ou en Physique. Elle fut taxée d'élitisme, dite "voie royale" et sa suppression apparut alors comme une nécessité.                       

Les nouvelles filières actuelles du baccalauréat ont essentiellement pour objectif de donner la possibilité à chaque élève d'atteindre l'excellence dans la discipline qui lui convient le mieux pour réaliser son projet personnel. Ceci s'est réalisé dans le cadre de " la Rénovation des Lycées "; une grande réforme qui a mobilisé bien des législateurs successifs. Cette réforme a généré une série L, bien conçue et équilibrée, qui permet à un bon élève "littéraire" d'atteindre un excellent niveau de savoir, qu'il soit scolaire ou acquis dans son milieu d'origine. En effet, il n'est pas distrait de l'essentiel de sa formation par l'étude des Sciences, ceci lui laisse le temps de lire les bons auteurs,  d'y réfléchir, bref de se "cultiver" au bon sens du terme; et tout en préparant le Baccalauréat, préparer au mieux son projet, si ambitieux soit-il, pour la suite. Par contre, l'élève de TS, pour atteindre un niveau de compétence identique dans les trois grandes disciplines scientifiques:  S.V.T., Physique-Chimie et Mathématiques, à quel " bachotage" n'est-il pas condamné? Ajoutons à cela que sa compétence doit égaler pratiquement celle de son collègue de la série L dans la plupart des disciplines littéraires: Français en première; puis, en terminale, dissertation en Philosophie, dissertation en Histoire-Géographie (même programme que les TL mais avec une heure de cours en moins bien sûr), enfin Première Langue étrangère à l'écrit. Où trouvera-t-il, entre deux "devoirs  surveillés " , le temps de lire un article, de "réfléchir" tout simplement? Il est aspiré par la réduction de son activité à l'apprentissage des "recettes". Depuis deux ans, j'ai parfois vu l'ennui, la tristesse peut-être, dans les yeux de certains bons élèves de TS( spécialité math). Il me semble qu'il y a là deux poids, et deux mesures: que cherchent les législateurs qui se succèdent ?

Cela dit, non seulement je conviens, mais je suis très conscient que le problème de l'enseignement entre 16 et 18 ans, et au plus grand nombre, est difficile et dépasse de beaucoup l'hiatus que je viens de dénoncer entre les séries L et S. Il se pose dans la plupart des pays développés. Pour la charnière Terminale-Postbac, je renvoie  à l'ouvrage de Pierre LEGRAND: "Le Bac chez nous et ailleurs" où l'on trouvera des réponses plus  globales sur cette grande question.

                       b) Si la raison d'un cours d'Analyse réduit pour l'essentiel à une démarche  algébrique est  "la difficulté des concepts rencontrés", je suis bien conscient que c'est  une "lapalissade" de le dire. Cependant les textes ont leur logique: si la France est un des rares pays développés où un cours consistant sur les suites existe en classe de première et terminale S; si l'on y étudie leur monotonie, leur limite éventuelle, si l'on admet  que les suites monotones et bornées convergent et bien d'autres propriétés liées à l'ordre et aux limites de fonction: alors tout cela suppose que, d'une façon ou d'une autre, on désire que l'élève acquiert, à ce stade, une certaine idée des nombres réels; que l'amorce d'un  statut pour  ces nombres, non définitif, non exhaustif  certes, ait des conséquences fécondes pour la suite de son cursus mathématique. En effet, si l'on développe, par des procédés liés aux suites, l'approche de nombres sur lesquels l'élève n'a aucune idée précise; alors c'est du temps perdu et il n'en restera rien, une fois oubliés les exercices types posés au Baccalauréat. Cette réflexion me conduit à la nécessité de poser  en TS un procédé " relativement simple" qui permet de définir un réel dans le cadre d'une démonstration ; je choisis la limite commune de deux suites adjacentes qui est en accord avec le programme actuel(Juin94).  L'expérience m'a montrée que l'élève accepte bien cette propriété, alors que la propriété  de la borne supérieure ne passe pas,  pour avoir essayé celle ci, il y a quelques années, lorsqu'on définissait l'intégrale de Riemann en TC.

                       c) Partant de là, j'essaie de montrer dans ce travail, déjà expérimenté partiellement ou totalement, selon les années, avec mes élèves (TC ou spécialité Math), que l'on peut démontrer certains résultats importants du cours d'Analyse élémentaire et non les admettre systématiquement. Je reste bien entendu fidèle à l'esprit et à la lettre des programmes actuels ( Juin94).

                                      1- Pour ce travail de démonstration, cela suppose un temps de la classe pendant lequel le maître explique, démontre au tableau, il tient la parole et la donne et la reprend, "il fait cours". Pour certains, ce temps est désormais inutile ou mineur; je ne suis pas d'accord. Il est vrai que l'enseignant est en recherche permanente d'un équilibre entre d'une part, l'action de communiquer un savoir, par les explications, les démonstrations qu'ils développent devant ses élèves, et d'autre part l'activité que génère chez l'élève l'acquisition de ce savoir et des savoir-faire qui en découlent. Ce travail est difficile, il n'y a pas de véritable recette, le" public" change physiquement chaque année, mais aussi évolue avec son époque. Avec chaque nouveauté technique, on a essayé de trouver "un système" pour enseigner: le rétroprojecteur, les cours à la télévision, la télévision dans la classe, la calculatrice, l'ordinateur; mais ces moyens sont apparus assez rapidement comme des aides, intéressantes certes, facilitant certaines tâches, parfois indispensables, mais le maître est  toujours dans la classe. Lorsque  l'élève s'exprime, et il doit le faire, se sentir libre de le faire pour soulever les questions, le maître reste son interlocuteur privilégié, car il détient le savoir, avec la responsabilité que cela incombe. Tomber dans l'excès de l'un de ces deux aspects de notre tâche a été, et sera toujours, à mon sens, préjudiciable à l'élève. L'activité  nécessaire de l'élève, même sous contrôle d'un enseignant, ou l'aide d'une machine ne saurait résumer à elle seule l'action d'enseigner.

                                                    2- Démontrer oui, mais  démontrer quoi ? Il est bien certain qu’on ne peut traiter de l’Analyse définitivedans le secondaire. Les concepts, souvent difficiles, doivent être dégagés progressivement ; en ménageant des étapes au-delà desquelles, l’élève, fut-il excellent, perdrait le sens. Ces erreurs ont été faites par le passé; par exemple en 1972 avec les limites et  l’intégrale de Riemann... et la borne supérieure. Cependant, en TS, ( Spécialité-Math ), je pense qu’il est temps d’amorcer certaines « ruptures » avec la pratique de l'enseignement de l'Analyse en terminale Scientifique. La difficulté des concepts exposés, de toute façon, demeurera longtemps encore sur de nombreux points; mais est-ce vraiment dramatique? Qui a saisi tout de suite, après leur construction en Bac+1, toute la richesses et la complexité des réels? Un autre grand problème: dans le cursus scolaire, une difficulté est de trouver le bon moment  pour parler des limites et avec quel degré d'approfondissement? Mais en parler au Lycée sans pouvoir les utiliser dans le contexte d'une démonstration en TS, comme c'est le cas puisque nous ne disposons que de conditions suffisantes c'est certes respecter une progression prudente, mais en créant des comportements qui vont perdurer dans l'après bac. On pourrait au Lycée donner une définition de la  limite d'une suite ou d'une fonction en termes de valeurs approchées à 10 puissance -n près.  Les difficultés répercutées en D.E.U.G. par les pratiques actuelles en TS, font que, très souvent, l'étudiant continue d'admettre tout ou partie des théorèmes importants sur les limites; selon de nombreux enseignants du Supérieur, il ne construit pas toujours l'ensemble R, alors que le terrain "devrait" être préparé avec les suites étudiées au Lycée; parfois il n'en connaît pas les propriétés caractéristiques; les décimaux de sa calculatrice bornent son horizon pour encore longtemps.

                        Je crois qu'en T.S, certains résultats, admis actuellement, peuvent faire l’objet d’une démonstration; certains théorèmes, considérés jusqu’à présent comme évidents par l’interprétation graphique, et ils le sont très souvent, peuvent entrer dans un processus déductif. Bien entendu, un tel discours ne peut être tenu dans toute les séries terminales au Lycée, mais n'oublions pas que cette série S doit préparer certains de ses élèves aux disciplines scientifiques de haut niveau. Cette démarche peut être " volontariste": le " ça se voit sur le graphique " n'est plus déclaré suffisant pour tous les énoncés; mais il est préférable, lorsque c'est possible, et c'est parfois le cas, de justifier la nécessité d'une démonstration, dans cette période où l'élève admet beaucoup de propriétés. Enfin, encore faut-il que la motivation pour établir ces démonstrations, soit forte par l'importance des conséquences, et ces nouveaux résultats établis suffisamment riches en retombées pour la résolution des problèmes.

                                         3-La prudence et la modération demeurent la règle; le temps limité et la volonté de ne pas retomber dans l'excès de formaliste des années 70 sont des garde-fous suffisants. Il importe donc que ces « ruptures » avec l’intuition soient limitées en nombre et situées dans le contexte des « objectifs généraux du programme »; ces derniers étant appréciés unanimement me semble-t-il. Dans le travail qui suit ici, l’objectif est de démontrer quelques Théorèmes  importants d'Analyse élémentaire en TS (Spécialité-Math). Le concept de limite de suite ou de fonction est supposé avoir  été abordé au préalable. Pour les démonstrations, je m'appuie, pour l’essentiel, sur les suites adjacentes. Le thème est la résolution des équations du troisième degré. Enfin, le moyen est la dichotomie.

 Résumons brièvement l'essai.

                    1) La recherche de conditions d’existence et d’unicité d’une solution d'une équation de degré trois me conduit à démontrer le théorème dit de « Bolzano ». Après le développement de son aspect calculatoire par dichotomie, sa démonstration, dans la foulée, est riche en procédés: raisonnement par récurrence; par disjonction des cas; enfin la propriété que deux suites adjacentes définissent un réel unique. Cette étude est facilitée par l'utilisation de la dérivée pour en déduire le sens de variation; ce résultat admis en 1°S, je le démontre dans la suite de cette même étude. Il ne s'agit pas là d'un cercle, mais d'une démarche souvent utilisée dans le cadre de l'appropriation progressive de la connaissance par l'élève; rappelons qu'en DEUG, l'étudiant admet le théorème de d'Alembert, pour lui  intuitif et signifiant, et il le démontre plus tard en Licence.  C’est l’occasion, de se familiariser avec des organigrammes pour quelques routines sur les calculatrices programmables; en accord avec les nouvelles exigences du programme de Juin 94 sur cette question: justifier et utiliser tests et boucles. A ce sujet, l'élève de T.S. ne saurait être un "consommateur lambda " de la calculatrice, il doit être à même de comprendre les logiciels les plus simples; ce qui permet de démystifier l'outil et d'en relativiser les possibilités. 

                  2) Les conséquences de ce théorème sont nombreuses et accessibles: le théorème des valeurs intermédiaires bien sûr, mais surtout  le cas des fonctions continues et strictement monotones au coeur de notre contrat en TS, avec, au passage, la définition des fonctions racines n-ièmes comme fonctions réciproques. Tout cela constitue une séquence déductive qui justifie la démarche de« rupture »

Bien entendu, il n’est pas question de démontrer que l’image d’un segment par une fonction continue est un segment; la propriété de la borne supérieure pose trop de difficulté à l'élève débutant en Analyse élémentaire.  Bien que cette propriété soit équivalente, dans R, à la définition d'un réel par deux suites adjacentes, elle passe très mal auprès des élèves comme je l'ai dit plus haut.

                      3) Avec des outils nouveaux,   je reviens, sous la forme d’un problème posé aux élèves, à la discussion de l’existence et du nombre de racines réelles de l’équation du troisième degré; mise, pour simplifier, sous la forme sans terme du second degré.

 Dans la pratique pédagogique,  j’utilise souvent la démarche de Bruner stades manipulatoire (ici, calculatoire) iconographique et formalisation. L’usage des calculatrices programmables trouve naturellement  sa place dans ce processus, pour permettre à l'élève d'avancer par lui même des "conjectures"; le calcul devient un argument important, au même titre que le graphe, pour justifier et parfois donner l'intuition de la démonstration. Je pense à des routines telles:  dichotomie,   suites récurrentes, valeurs d’une fonction. De plus, cette stratégie est en accord avec le triptyque en usage actuellement dès la classe de seconde:« Activité, cours, travaux pratiques ».

                       4) Enfin, l’approche d’une solution par dichotomie montrant sa « lenteur » relative, il importe de rechercher des suites convergeant « plus rapidement » vers la solution de l’équation. Je pense à la méthode du point fixe qui exige des connaissances complémentaires à celles acquises en 1°S, sur les dérivées. C'est l'occasion d'une nouvelle séquence déductive où je développe deux pistes possibles conduisant à une nouvelle rupture. On peut, en TS, admettre, ou démontrer simplement, le théorème de Rolle, puis démontrer l’inégalité des accroissements finis (c’était le cas il y a quelques années). Enfin, nouvelle rupture, démontrer le « principe de Lagrange » admis en 1°S. C’est l’ordre habituel.

Désirant explorer plus avant la dichotomie comme méthode de démonstration, je développe une autre piste; d’abord la démonstration du«Principe de Lagrange » d’où l’on déduit l’inégalité des accroissements finis. Rappelons que ce dernier résultat est un outil remarquable pour majorer « Majorer, minorer, encadrer... ».

Donc, le choix de cette « rupture » en TS, le développement de cette deuxième séquence déductive, me parait largement justifié, quel que soit la piste utilisée. La stratégie de Bruner que j’ai rappelée au 3), utilisée souvent dans cette étude, montre, je l’espère, qu’on peut équilibrer le discours du maître et  l'activité de l'élève. Enfin, remarque importante: à condition de situer cette étude en TS (Spécialité-Math), à l'heure où j'écris, tous les prérequis sont conformes au programme de juin 1994. C’est l’unique raison de cette restriction à la spécialité; dans cette période qui apparaît de plus en plus "en attente d'une remise à plat de l'enseignement de l'Analyse", aussi bien dans le secondaire qu'en Bac +1.  
 Pour conclure; essayons d'éviter l'exemple américain, où l'école publique a cédé, pour les études de qualité, tout le terrain au " collège " privé et payant.

Remarque1

Dans cette essai, je ne prends pas en compte les modifications des programmes qui seront en application dès Septembre 98. Dans ce nouveau contexte, avec la disparition de la continuité et des suites monotones et bornées, l'Analyse en TS devient radicalement algébrique et le travail qui suit n'y a plus sa place. Je pense qu'il s'agit d'une époque de transition, en attente d'une restructuration nécessaire à terme de l'enseignement scizentifique au Lycée.

Remarque 2  

Le lecteur peut faire remarquer, que par le passé, il n'a jamais été question de démontrer des théorèmes d'Analyse élémentaire. J’ai suivi une classe de Mathématiques élémentaires; l’Analyse, purement algébrique, se réduisait à l’étude des fonctions polynômes, rationnelles,  et  irrationnelles. Mais, à l’époque, l’important programme de géométrie permettait à l’élève de s’initier à l’hypothético-déductif (depuis la 4°), à l’analyse-synthèse, en fait, au raisonnement scientifique. Ce qui n’est plus  le cas aujourd’hui, force est de le constater. Ceci dit, sans esprit passéiste, peut-on rendre plus présente, aujourd'hui,  la rationalité  dans la démarche  des élèves,  notamment en TS (Spécialité-Math)?

Remarque 3

 J’ai été inspiré, pour le choix de la dichotomie, par l’article de J.L. OVAERT « Dichotomies et variantes » dans le bulletin Inter-IREM d’Analyse n°XX paru en 1981.

Remarque4

Les éléments de solution en annexe ont pour seul objet de permettre au lecteur d'évaluer rapidement le degré de difficulté.

Remarque 5 

Je précise, , s'agissant d'un essai pédagogique, ce qui tient d'une activité, d'un cours ou de travaux pratiques. Pour une plus grande clarté, j'encadre tous les textes destinés à l'attention des élèves pour une mémorisation ou un travail personnel : énoncés, définitions, activités et   travaux pratiques.

Pour obtenir le texte complet en fichier PDF : cliquer sur le lien ci-dessous
La Dichotomie

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