GROUPE DES ISOMETRIES DU CUBE

Quelques figures choisies dans le texte
cube1
iso1
Peinture de Vasarely représentant un cube debout sur une grande diagonale exposée au musée de Gordes ( 1981) Figure géospaw inspirée de la peinture ci-dessus et illustrant  une des rotations du cube autour d'une diagonale.
iso2
j
iso3
Figure GéospaceW illustrant une rotation réflexion d'ordre 3 autour d'une diagonale S1S7 projection orthogonale de cette figure sur le plan médiateur de S1S7
L'objectif de cet essai pégagogique est de prouver, avec des moyens minimum,  que 48 isométries exactement  conservent le cube : elles forment le " groupe du cube" . Les moyens employés sont  au niveau de la terminale scientifique ou éventuellement, selon l'évolution actuelle des programmes, en post-bac. 

STRUCTURER L'ESPACE PAR L'ETUDE DES POLYEDRES REGULIERS

III      ISOMETRIES DU CUBE EN  TS 

les parties I et II ne figutent pas ici 

ESSAI PEDAGOGIQUE figures avec geospacw

         J-P  Daubelcour

IREM DE LILLE

sommaire

Chapitre I Généralités sur les figures isométriques de l'espace.

Chapitre II  Isométries du cube et propriétés des isométries de l'espace

Chapitre III Synthèse sur les isométries de l'espace.

 Liminaire

L'objectif est une étude des isométries de l'espace par l'étude des isométries qui agissent sur une figure : en l'occurrence  le cube. 

  2° PARTIE   En second lieu l'orthogonalité des droites et des plans peut se découvrir en étudiant le cube et tétraèdre régulier. Le cube donne des situations d'orthogonalité  immédiates, puis le tétraèdre régulier révèle des orthogonalités moins évidentes et qui nécessitent l'acquisition d'une méthode. L'observation est suivie de la formalisation du concept d'orthogonalité dans l'espace.  Le produit scalaire dans l'espace est défini à cette occasion. Les parties 1 et 2 ne figurent pas ici ( classe de 1° ) 

3° PARTIE   Les propriétés des  isométries de l'espace sont étudiées à l'occasion de  la recherche des isométries qui conservent le cube. Il ne s'agit pas en terminale S d'une étude exhaustive allant jusqu'à la classification de toutes les isométries de l'espace ; notamment il ne sera  question ni de déplacement hélicoïdal ni de translation-réflexion.  La méthode d'exposition de ce cours  utilise un rythme ternaire : "stade  iconographique, celui du dessin et de la construction", "stade manipulatoire ou calculatoire ", enfin " le stade formel ou la démonstration"; étapes classiques de la pédagogie de Jérôme Bruner. Cette méthode permet l'alternance d'une démarche empirique avec le développement formel des propriétés générales des isométries de l'espace, au fur et à mesure de leur nécessité pour retrouver les 48 isométries du cube. 
Quant  au   difficile problème qui consiste à se libérer du "mouvement par superposition" pour  établir  un critère d'égalité de  deux figures de l'espace, l'originalité de ce travail consiste à transporter un repère orthonormé  R(O, I,J,K,) de l'espace et un point M(x,y,z) lié à ce repère sur un repère orthonormé R'( O',J',K') en remarquant que l'homologue M' de M dans ce transport a également pour coordonnées (x, y,z) dans le repère. 
Cette méthode  présente en particulier l'avantage de faire le lien avec l'algèbre linéaire, après le baccalauréat. En effet on peut constater qu'il est aisé de faire correspondre à chaque isométrie du cube sa  matrice dans une base orthonormée liée au cube.
 

Les prérequis
: Calcul vectoriel et notion de barycentre et d'isobarycentre. 
Dans la 1° et la seconde partie de ce cours de géométrie dans l'espace certaines questions ont déjà été  étudiées. Notons les relations d'incidence droites et plans de l'espace, le parallélisme dans l'espace, l'orthogonalité et le produit scalaire dans l'espace, droites orthogonales, droite orthogonale à un plan et plans perpendiculaires. Notons également les problèmes d'équidistance avec : plan médiateur d'un segment, axe d'un carré ou d'un triangle équilatéral, repères orthonormés de l'espace. Enfin la notion de transformations de l'espace a été rencontrée à l'occasion des  translations de l'espace, de la symétrie par rapport à un  plan P dite ici " réflexion de miroir P", de la symétrie-point dans l'espace. Enfin la   composition des transformations de l'espace et les  groupes de transformations sont évoquées à propos du  groupes des translations et des , groupe des homothéties- translations de l'espace.

Pour obtenir le texte complet : cliquer sur le lien ci-dessous :
isométries du cube
Roland Dassonval, à propos de ce texte, a construit des figures interactives géospacw :  pour les consulter, rendez vous sur son site en cliquant sur le lien ci-dessous,   vous y trouverez également des films parlés flash pour illustrer certaines démonstrations.
Le site de Roland Dassonval .
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