IV     DEMONSTRATIONS DE QUELQUES THEOREMES D'ANALYSE ELEMENTAIRE DANS LE CADRE D'UNE LIAISON LYCEE-UNIVERSITE

courbe point fixe
 valeurs approchées sinx  au voisinage de 0  Méthode du point fixe

calculatrice
Organigramme pour la méthode par dichotomie pour   résoudre une équation du 3° degré 
                                                                    Daubelcour Jean-Pierre    

IREM DE Lille

SOMMAIRE

INTRODUCTION

PREFACE

CHAPITRE I  : LES NOMBRES  REELS  COMME DEVOPPEMENT DECIMAL ILLIMITE. 
CHAPITRE II : LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS .
CHAPITRE III  : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE REELLE. 
CHAPITRE IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES  SUR UN INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) 
CHAPITRE V : COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) 
CHAPITRE VI : ACCELERATION DE CONVERGENCE . (Méthodes du point fixe et de Newton-Raphson) 
CHAPITRE VII  : CALCULS D'AIRES ET DEFINITION DE  L'INTEGRALE  
CHAPITRE VIII : CALCULS APPROCHES D'INTEGRALES 
ANNEXE 12      :   BREF HISTORIQUE DE L'ENSEIGNEMENT DE L' ANALYSE AU LYCEE.

INTRODUCTION

Depuis le début du XX° siècle, l’enseignement de l’Analyse au lycée a subi bien des évolutions, et des éclipses et des retours. Depuis 1983  le corpus d’Analyse est devenu prépondérant dans le cours de mathématiques  en classe  terminale scientifique; en même temps  s’affirme une volonté d’ouverture des Lycées d'enseignement général au plus grand nombre. 
Conjointement à cette ouverture du Lycée, on  constate une  lente érosion des contenus et  la disparition progressive de la rationalité dans  l'enseignement de cette discipline. Ces évolutions sont nettes à partir de 1991 en terminale comme je le précise ci-dessous. 
                                    a)
L'état des lieux. En Terminale scientifique, le lycéen admet quasiment  tous les théorèmes d'Analyse. Les énoncés des théorèmes sont précédés d'exemples d'introduction, et suivis d'exercices d'applications appelés "travaux pratiques". Le processus systématique qui passe directement de l'énoncé des théorèmes à leur utilisation dans un  processus déductif, lors des " Travaux pratiques", est-il efficace pour l'acquisition d'un savoir ? Est-ce raisonnable d'appliquer systématiquement des propriétés ou des concepts dont très souvent l'élève  n'a pas saisi le sens, la finalité ? Certains assurent qu'à l'occasion de ces T.P, il " Démontre" et "Déduit". Mais alors comment expliquer ses  difficultés à raisonner, à suivre une démonstration, à en reconnaître la légitimité même, raisonner ,constatées  en terminale et dans les cursus scientifiques post-bac ? Si on veut bien reconnaître qu'il y a là un problème, qu'il se pose bien avant la terminale, que les enseignants  post-bac en signalent les effets néfastes; une réflexion s'impose. Certes les raisons en sont multiples, conjoncturelles, pour éclairer le sujet, faisons un bref  retour en arrière.          

              - Dans les années 1970-80, les concepteurs affirme leur  volonté d'une construction de type "Bourbakiste" au  travers d'une généralisation excessive du vocabulaire de la théorie des ensembles associée à l'abus des structures algébriques. Ce bouleversement,  de la maternelle à l'université,  conduit à un enseignement des mathématiques trop formel pour les lycéens et  coupé des utilisateurs des mathématiques. Je n'y reviens pas, le sujet a été très bien et très souvent traité. Un changement s'imposait, il se fit  de façon restrictive et également excessive par réaction  : la "contre-réforme" au début des années 80. Bien que ce soit au détriment de la géométrie et par la suppression radicale de toutes les structures, la prépondérance donnée à l'Analyse est accompagnée d'une grande  cohérence, tenant compte des nouveaux outils, l'ordinateur ou la calculatrice programmable. Les arguments avancés par les concepteurs de ces nouveaux programmes ( 1983 pour la terminale scientifique) sont  très pertinents.

Mais hélas,  10 ans plus tard on ne peut que constater un appauvrissement considérable des exigences : on peut dire, en caricaturant ,que le programme de 94 n'est que le squelette de celui de 83. Je veux d'abord retenir, dans le programme de juin 94, cette opposition à toute formalisation de l'Analyse, ce refus quasi systématique de toute "Démonstration" de théorème important, en Terminale scientifique. Ceci conduit à un  passage, quasi direct, de l'activité préparatoire à l'application des propriétés admises. Ce constat soulève le bien fondé d'un tel enseignement : les  élèves qui se destinent à une formation de mathématicien, de physicien ou plus généralement à un enseignement scientifique de haut niveau y sont-ils suffisamment préparés ? Argumentons avec l'esprit d'ouverture qui n'écarte pas  la conviction.

                                   - Beaucoup d'enseignants de Lycée ont compris très tôt, que la terminale C qui tenait ce rôle était condamnée à terme. En effet, après "le Collège unique", l'ouverture du "savoir" au plus grand nombre, objectif de toute véritable démocratie, s'est faite  en grande partie  par l'augmentation des effectifs des classes de seconde des Lycées d'enseignement général.  Cette évolution brutale à conduit la classe de TC a devenir, progressivement, par la force des choses, une classe refuge des "bons élèves", quelques soient par ailleurs leurs aptitudes en Mathématiques ou en Physique. Elle fut taxée d'élitisme, appelée "voie royale" et sa suppression en 1994 apparut alors comme une nécessité.

Pouvait-on l'éviter ? Etait-il possible d'accompagner cette démocratisation du Lycée d'une plus grande diversité des filières du baccalauréat plus adaptées aux talents et aux besoins de l'ensembles des lycéens ?                    

La restructuration des sections se réalise  depuis le début des années 1990 dans le cadre de " la Rénovation des Lycées "; une grande réforme qui a mobilisé bien des législateurs successifs. Cette réforme a généré une série L, bien conçue et équilibrée, qui permet à un bon élève "littéraire" d'atteindre un excellent niveau de savoir, qu'il soit scolaire ou acquis dans son milieu d'origine. En Sciences, sous le prétexte de retarder le plus possible l'orientation des élèves, la diversification des filières prend la forme perverse de l'uniformité. Depuis la suppression de la TC en 1994, l'élève de TS(terminale scientifique regroupant les anciennes TC et TD, pour atteindre un niveau de compétence identique dans les trois grandes disciplines scientifiques:  S.V.T., Physique-Chimie et Mathématiques, est condamné  au " bachotage".  Ajoutons à cela que sa compétence doit égaler pratiquement celle de son collègue de la série L dans la plupart des disciplines littéraires: Français en première; puis, en terminale, dissertation en Philosophie, dissertation en Histoire-Géographie (même programme que les TL mais avec une heure de cours en moins bien sûr), enfin Première Langue étrangère à l'écrit. Où trouvera-t-il, entre deux "devoirs  surveillés ", le temps de lire un article, de "réfléchir" tout simplement? Il est alors évident que l'enseignement de spécialité en mathématiques de 2 heures par semaines ne peut changer la donne initiale : l'acquisition d'un savoir  mathématique est remplacée par un apprentissage ; qui plus est, souvent réduit  à des  "recettes".  Quant aux élèves de  TSE, série destinée aux futurs étudiants en sciences économiques, leur bagage mathématique se révèle  insuffisant  lors des études supérieures. Ma conclusion est qu'en définitive la massification des Lycées semble s'être réalisée au détriment d'une réelle démocratisation. J'entend par une réelle démocratisation, celle qui permet à chaque élève, du plus petit au plus grand des Lycées de France et de Navarre, d'atteindre les objectifs correspondants à ses désirs et ses capacités, même si celle-ci sont élevées. Ce n'est plus le cas, je l'ai constaté dans les drnières années d'enseignement en terminale.

Cela dit, je suis très conscient que le problème de l'enseignement entre 16 et 18 ans, et au plus grand nombre, est difficile et dépasse de beaucoup l'hiatus que je viens de dénoncer entre les séries L et S. Il se pose dans la plupart des pays développés. Pour la charnière Terminale-Postbac, je renvoie  à l'ouvrage de Pierre LEGRAND: "Le Bac chez nous et ailleurs" où l'on trouvera des réponses plus  globales sur cette grande question.

                        b) Le domaine des possibles. Si la raison d'un cours d'Analyse réduit pour l'essentiel à une démarche  algébrique est  "la difficulté des concepts rencontrés", je suis bien conscient que c'est  une "lapalissade" de le dire. Est-il possible au Lycée, dans une terminale scientifique qui devrait s'adresser aux futurs étudiants des universités en sciences physiques, en mathématiques ou aux futurs ingénieurs de rétablir une certaine rationalité ? Si l'on désire conjuguer les développements algorithmiques et les démonstrations, il est nécessaire de disposer d'une "définition simple" mais opératoire des réels. L'expérience m'a montrée qu'il est raisonnable d'admettre la proposition "toute suite croissante et majorée converge" ou  " la  limite commune de deux suites adjacentes de nombres rationnelsou qu'une suite d'intervalles emboîtés définit un réel unique ". La représentation des nombres sur la droite géométrique favorise l'acquisition du sens de cette propriété. Il n'en est pas de même  pour l'axiome de la borne supérieure qui ne "passe pas" comme nous en avons fait l'expérience en 1972  lorsqu'on définissait l'intégrale de Riemann en TC.

                        - Démontrer oui, mais  démontrer quoi ? Il est bien certain qu’on ne peut traiter de l’Analyse définitivedans le secondaire. Les concepts, souvent difficiles, doivent être dégagés progressivement ; en ménageant des étapes au-delà desquelles, l’élève, fut-il excellent, perdrait le sens. Ces erreurs ont été faites par le passé; par exemple avec les limites et l’intégrale de Riemann... et la borne supérieure. Cependant, en Terminale scientifique, je pense qu’il est temps d’amorcer certaines « ruptures » La difficulté des concepts exposés, de toute façon, demeurera longtemps encore sur de nombreux points; mais est-ce vraiment dramatique? Qui a saisi tout de suite, après leur construction en Bac+1, toute la richesses et la complexité des réels? Un autre grand problème: dans le cursus scolaire, une difficulté est de trouver le bon moment  pour parler des limites et avec quel degré d'approfondissement? Mais en parler au Lycée sans pouvoir les utiliser dans le contexte d'une démonstration en TS, comme c'est le cas puisque nous ne disposons que de conditions suffisantes c'est certes respecter une progression prudente, mais en créant des comportements qui vont perdurer dans l'après bac. On peut au Lycée donner une définition de la  limite d'une suite ou d'une fonction en termes de valeurs approchées à 10 puissance -n. Cela est d'autant plus nécessaire que les pratiques actuelles engendre de sérieuses  difficultés en D.E.U.G. ou en classe préparatoire tant au niveau des savoirs que de la pratique du raisonnement et des démonstrations.

                         Je crois qu'en T.S, certains résultats, admis actuellement, peuvent faire l’objet d’une démonstration; certains théorèmes, considérés jusqu’à présent comme évidents par l’interprétation graphique, et ils le sont très souvent, peuvent entrer dans un processus déductif. Bien entendu, un tel discours ne peut être tenu dans toute les séries terminales au Lycée, il s'adresse en priorité aux futurs étudiants en mathématiques, Physique ou en classe préparatoire Cette démarche peut être " volontariste": le " ça se voit sur le graphique " n'est plus déclaré suffisant pour tous les énoncés; mais il est préférable, lorsque c'est possible, et c'est parfois le cas, de justifier la nécessité d'une démonstration, dans cette période où l'élève admet beaucoup de propriétés. Enfin, encore faut-il que la motivation pour établir ces démonstrations, soit forte par l'importance des conséquences, et ces nouveaux résultats établis suffisamment riches en retombées pour la résolution des problèmes.

                                  -La prudence et la modération demeurent la règle; le temps limité et la volonté de ne pas retomber dans l'excès de formaliste des années 70 sont des garde-fous suffisants. Il importe donc que ces « ruptures » avec l’intuition soient limitées à la démonstration de quelques théorèmes  importants d'Analyse élémentaire en Terminale scientifique.




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