calculdaire


Quadrature du segment de Parabole par Archimède	Quadrature du segment de Parabole par Pascal

Intégrale et Sommes de Riemann

UN ESSAI PEDAGOGIQUE
Jean-Pierre Daubelcour, I.R.E.M. de Lille
Ce texte a été publié dans la revue " Repères IREM" d'avril 1998

INTRODUCTION page 1

I PRESENTATION de L'ESSAI page 2
II DEROULEMENT DE LA SEQUENCE D'ENSEIGNEMENT page 10
Chapitre 1 : Evolution historique du calcul de l'aire du segment de parabole.

Chapitre 2 : Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur [a,b]

III ANNEXES 1, 2, 3, 4 et 5. Page24
BIBLIOGRAPHIE page 34

Reprenant les idées développées par H. Lebesgue, je défends dans cet article qu'il est utile et possible de respecter les fondements de la rationalité mathématique lorsqu'on aborde par les aires le chapitre Intégrale en terminale S.

Sans aller jusqu'au développement complet de la théorie de Riemann, il me semble que par le calcul des aires on peut construire de façon cohérente une intégrale qui soit pour l'élève chargée d'un certain sens, et par suite ne se réduise pas à un simple calcul de primitive.

Dans une telle entreprise, le problème didactique essentiel est le suivant : tant qu'on reste à un niveau purement intuitif, l'aire est assurément une notion simple et première, l'obstacle à son utilisation dans un développement cohérent tient au fait que pour lui garder son caractère intuitif et lui donner un statut mathématique, il faut la construire par des procédés limites non élémentaires : encadrements finis et passage à la limite dans la théorie de Riemann, sommations infinies et passage à la borne supérieure dans le cas de la théorie de Lebesgue.

" Les fonctions f continues sur [a,b] ont des primitives sur [a,b], et si F est l'une d'elles alors signesomme

: ". Etablir ce résultat est "simple" et à la portée des élèves de terminale si " l'intégrale est définie comme étant l'aire sous la courbe" ; malheureusement, pour montrer que l'aire sous une courbe continue existe comme objet mathématique bien défini, le processus d'encadrement et de passage à la limite de Riemann est nécessaire, et pour le réaliser il faut avoir recours au concept de continuité uniforme.

Sans chercher à escamoter cette difficulté et sans avoir recours à ce concept de continuité uniforme qui est résolument hors programme en terminale S, nous essayons dans ce qui suit de montrer par quel choix d'axiomes ou de propositions admises et géométriquement significatives il est possible néanmoins d'aborder le problème de la "mesure" en terminale de telle façon que l'élève puisse, quand il manipule des intégrales, simultanément faire fonctionner son intuition et exercer un contrôle sur ces intuitions, c'est à dire faire des mathématiques.