cristaux

CRISTAUX ISSUS DU SYSTEME CUBIQUE

quelques figures issues du texte.

quelques figures


Le dodécaèdre pentagonal tétraèdrique (12 faces)	Le Gyroèdre (24 faces )

Le diploèdre ( 24 faces )	L'hexatétraèdre (24 faces)

l'hexoctaèdre (48 faces)	projection orthogonale de ce solide à 48 faces sur le plan xOy

Ce texte est le résultat d'un travail commun avec Anne-Marie Marmier de l'unviversité de Lille1. Il montre la génèse dess cristaux issus du groupe du cube. Il a fait l'objet d'un article en deux parties publiées par le bulletin vert de l'APMEP en 2006

ETUDES DE REGULARITE DE L'ESPACE
et
LOGICIEL GEOSPACW

I      CONSTRUCTIONDU DODECAEDRE REGULIER
II       CRISTAUX ISSUS DU SYSTEMES CUBIQUES
   ANNE MARIE MARMIER ET JEAN-PIERRE DAUBELCOUR
   IREM DE LILLE

INTRODUCTION

Nous vivons dans un espace, que les Eléments d’Euclide nous ont appris à décrire par un discours rationnel permettant de comparer sans en faire une expérience réelle des objets solides définis à l’aide de surfaces planes, de droites et de points. A partir du XVIIe.siècle le discours s’est enrichi, les méthodes analytiques et vectorielles s’y sont introduites puis les groupes de transformations.
L’enseignement secondaire met en avant une présentation de la géométrie à partir des transformations, et il distille une “ géométrie spatiale ” dès la sixième à travers l’étude des corps solides simples ; au lycée, l’objectif change, l’espace s’organise et les objets vont s’y coordonner entre eux.
Nous vivons dans un espace, que les Eléments d’Euclide nous ont appris à décrire par un discours rationnel permettant de comparer sans en faire une expérience réelle des objets solides définis à l’aide de surfaces planes, de droites et de points. A partir du XVIIe.siècle le discours s’est enrichi, les méthodes analytiques et vectorielles s’y sont introduites puis les groupes de transformations.
Nous avons choisi d’offrir un petit périple sous le thème de la régularité, conjuguant étude-découverte des objets de l’espace et transformations, cela à travers deux exemples de construction : le dodécaèdre régulier et les formes cristallines du système cubique
Dans le premier cas le polyèdre régulier est défini comme un solide ayant toutes ses faces égales et tous ses angles polyèdres égaux, la construction effective montre l’existence et l’unicité (en un sens à préciser) d’un tel solide, dans la construction duquel apparaissent des rotations qu’on manupule empiriquement.
Dans le second cas, la régularité est définie via des groupes d' isométries du cube et la construction fait découvrir les formes.
Nous nous plaçons dans le cadre d’un exposé suivant la tradition euclidienne, où l’égalité signifie avoir même forme et même grandeur, l’égalité des figures rectilignes découlant de l’égalité des segments et des angles qui la composent. Le principe d’égalité par superposition qui fonde le discours s’adapte sans difficulté aux constructions de trièdres avec lesquels nous aurons à travailler
Construire est un acte qui amène à la réalisation d’un objet ; il est contingent aux instruments utilisés, l’ensemble du processus peut rester dans le discours de ce qu’il est possible de faire, une expérience de pensée en quelque sorte, ou bien aboutir à la réalisation matérielle d’un objet, donné à voir, à toucher..
Le point de vue est architectural : on construit un solide en assemblant des pièces selon un ordre nécessaire avec un certain nombre de connaissances a priori. Nous faisons l’hypothèse qu’une telle pratique expérimentale et personnelle contribue à forger l’espace comme une entité, car il s’agit pour avancer d’arriver à se penser par rapport à l’objet et de penser comment il est intimement fait, quelle est la coordination de ses éléments entre eux.
Nous avons choisi comme instrument le logiciel geospacw ; il permet de réaliser de belles représentations de figures solides que la construction manuelle à ce niveau ne permet pas.
Nous n’avons donné qu’un minimum de commentaires pour éclairer la démarche et les dessins obtenus ; c’est au lecteur d’accomplir pour lui le va-et-vient entre le raisonnement et l’action à commander à l’outil, d’en escompter les effets et de les constater.

Ce logiciel construit par une équipe d’enseignants du CREEM dans le cadre plus général du CNAM a un grand intérêt pédagogique et conjugue simplicité et performance. Il est conçu pour l’apprentissage de la géométrie, la figure est construite par étapes et réaliser ces étapes demande de mobiliser des connaissances géométriques.
Au-delà de la constatation sur l’écran de l’ordinateur, on trouvera le détail de certains points théoriques dans la bibliographie. Les faiblesses du logiciel, obligent à penser une méthode de construction en rapport avec son économie et influent sur les méthodes géométriques, nous expliciterons cela au fil du texte.
En conclusion nous voudrions montrer comment le thème de la régularité des solides et l’informatique introduisent à un espace structuré et initient aux transformations spatiales, conduisent à des méthodes analytiques simples et sont moteurs de découverte.

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Cristaux issus du système cubique