INTRODUCTION
page
2
Chapitre
1
Le théorème
de BOLZANO
page9
I
Problématique
(ACTIVITE)
II Le
théorème de Bolzano ( COURS)
Chapitre 2
Le
théorème des valeurs intermédiaires:
page 15
I
Evidences
graphiques et approximation des solutions. (ACTIVITE),
II Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (COURS),
IV
Isoler les zéros d’une
équation du troisième degré. (T.P.)
V
Théorèmes admis sur les fonctions
continues,
VI
Fonctions racines n-ièmes (COURS)
Chapitre 3
Discussion
de
l’équation du
troisième degré (TP)
page 21
Chapitre4 Compléments sur les
dérivées en TS.
Page 23
Formulation du problème sur exemples.
1°Piste ( ACTIVITE ET COURS)
I
Principe de Lagrange
page 26
II Inégalité des accroissements finis
2°Piste(COURS)I Théorème de Rolle page 31
II
Théorème des accroissements finis et Principe de
Lagrange
Chapitre 5 I Enoncé du problème: « Existence d’un point fixe » page 33
Annexe
2 Eléments
de solutions du problème, chapitre 3
page 39
Annexe
3
Eléments de solution de l'activité
et du I A, chapitre 4
page
41
Annexe
4 Eléments
de solution du problème, chapitre 5
page 43
PRESENTATION
Depuis le
début du siècle, l’enseignement de
l’Analyse au lycée a subi bien des
évolutions, et des éclipses..
et des retours. Au cours des dernières années,
à partir de 1983, le corpus d’Analyse est devenu
prépondérant en classe terminale
scientifique; en même temps s’affirmait une
volonté d’ouverture des Lycées au plus
grand nombre.
Beaucoup de nos élèves, en fin de
cursus au
Lycée, qui plus est, en Terminale S, ont des
difficultés croissantes à suivre une
démonstration, à en reconnaître la
légitimité même.
Dernièrement, un enseignant de biologie en TS regrettait que
beaucoup de ses élèves ne
maîtrisaient plus les relations de cause à effet.
Ce constat, parmi d'autres, confirme pour moi la
nécessité d'une remise en cause de notre pratique
actuelle de l'apprentissage du raisonnement et de la
démonstration; au collège, puis au
lycée. L'évolution de nos pratiques, que les
dernières réformes, depuis 1990, nous ont
suggérée, va-t-elle dans la direction d'un savoir
maîtrisé et fécond pour l'avenir de nos
élèves?
Voyons ce
qu'il en est
de l'enseignement de l'Analyse au Lycée
actuellement.
- En Terminale S, le lycéen admet tous les
théorèmes d'Analyse. Ces
énoncés sont
précédés d'exemples d'introduction, et
suivis d'exercices d'applications appelés "travaux
pratiques". Tout d'abord, est-il bien sage de lui demander d'utiliser
dans un processus déductif, lors des " Travaux pratiques",
des propriétés ou des concepts dont il n'a pas
saisi, très souvent, le sens, la finalité, bien
qu'il en connaisse l'énoncé? Certains assurent
qu'à l'occasion de ces T.P, il " Démontre" et
"Déduit". Mais alors pourquoi ces difficultés
à raisonner citées plus haut? Si on veut bien
reconnaître qu'il y a là un problème,
qu'il se pose bien avant la terminale, que les enseignants
post-bac en signalent les effets néfastes; une
réflexion s'impose. Certes les raisons en sont multiples,
conjoncturelles, pour éclairer le sujet, faisons un bref
retour en arrière.
- Pour ceux qui, comme moi, ont
enseigné dans les années 70, je comprends
très bien où nous a conduit l'excès
des structures, la volonté d'une construction de type
"Bourbakiste" et la généralisation excessive du
vocabulaire de la théorie des ensembles, de la maternelle
à l'université, si l'on peut dire. Je n'y reviens
pas, le sujet a été très bien et
très souvent traité. Une
"contre-réforme" était nécessaire, ce
fut fait, et au début des années 80. Bien que ce
soit au détriment de la géométrie, la
prépondérance donnée
à l'Analyse était accompagnée d'une
telle cohérence, tenant compte des nouveaux outils,
l'ordinateur ou la calculatrice programmable; les arguments
étaient d'une telle qualité que plus d'un
enseignant a travaillé avec plaisir dans ce nouveau
contexte. J'en fus.
Mais depuis,
hélas, en 10 ans d'appauvrissement continu, on peut dire, en
caricaturant ,que le programme de 94 n'est que le squelette de celui de
84. Après l'excès de formalisme des
années 70, faut-il, pour autant tomber, comme c'est souvent
le cas chez nous, dans l'excès contraire? Je veux d'abord
retenir, dans le programme actuel de juin 94, cette opposition
à toute formalisation de l'Analyse, ce refus quasi
systématique de toute "Démonstration" de
théorème important, en Terminale S. Ceci nous
conduit à un
passage,
quasi direct, de
l'activité préparatoire à
l'application des propriétés admises. Pourquoi en
sommes-nous là. Est-ce la voie d'un progrès?
Argumentons avec l'esprit d'ouverture qui n'écarte pas
la conviction.
a)
En tant que praticien, comme de nombreux
collègues, j'avais compris depuis quelque années,
que la terminale C était condamnée à
terme. En effet, l'ouverture du "savoir" au plus grand nombre, objectif
de toute véritable démocratie, s'est faite
essentiellement par l'augmentation des effectifs des
classes de seconde des Lycées. Cette évolution
a-t-elle été suffisamment pensée? La
diversité possible des voies post-collège
a-t-elle été bien envisagée et
étudiée dans sa réalisation pratique?
Toujours est-il que la classe de
Terminale C est devenue, progressivement, par la force des choses, une
classe refuge des "bons élèves", quelque soit par
ailleurs leurs aptitudes en Mathématiques ou en Physique.
Elle fut taxée d'élitisme, dite "voie royale" et
sa suppression apparut alors comme une nécessité.
Les
nouvelles filières actuelles du baccalauréat ont
essentiellement pour objectif de donner la possibilité
à
chaque élève d'atteindre l'excellence dans la
discipline
qui lui convient le mieux pour réaliser son projet
personnel.
Ceci s'est réalisé dans le cadre de " la
Rénovation des Lycées "; une grande
réforme qui a
mobilisé bien des législateurs successifs. Cette
réforme a généré une
série L, bien
conçue et équilibrée, qui permet
à un bon
élève "littéraire" d'atteindre un
excellent niveau
de savoir, qu'il soit scolaire ou acquis dans son milieu d'origine. En
effet, il n'est pas distrait de l'essentiel de sa formation par
l'étude des Sciences,
ceci lui laisse le temps de lire les bons auteurs,
d'y réfléchir, bref de se "cultiver"
au bon sens du terme; et tout en préparant le
Baccalauréat, préparer
au mieux son projet, si ambitieux soit-il, pour la suite. Par contre,
l'élève de TS, pour atteindre un niveau de
compétence identique dans les trois grandes disciplines
scientifiques: S.V.T.,
Physique-Chimie et Mathématiques, à quel "
bachotage" n'est-il pas condamné? Ajoutons à cela
que sa compétence doit égaler pratiquement celle
de son collègue de la série L dans la plupart des
disciplines littéraires: Français en
première; puis, en terminale, dissertation en Philosophie,
dissertation en Histoire-Géographie (même
programme que les TL mais avec une heure de cours en moins bien
sûr), enfin Première Langue
étrangère à l'écrit.
Où trouvera-t-il, entre deux "devoirs surveillés
"
, le temps de lire un article, de "réfléchir"
tout simplement? Il est aspiré par la réduction
de son activité à l'apprentissage des
"recettes". Depuis deux ans, j'ai parfois vu l'ennui, la tristesse
peut-être, dans les yeux de certains bons
élèves de TS( spécialité
math). Il me semble qu'il y a là deux poids, et deux
mesures: que cherchent les législateurs qui se
succèdent ?
Cela dit, non
seulement je conviens, mais je suis très conscient que le
problème de l'enseignement entre 16 et 18 ans, et au plus
grand nombre, est difficile et dépasse de beaucoup l'hiatus
que je viens de dénoncer entre les séries L et S.
Il se pose dans la plupart des pays développés.
Pour la charnière Terminale-Postbac, je renvoie
à l'ouvrage
de
Pierre LEGRAND: "Le Bac chez nous et ailleurs"
où l'on trouvera des réponses plus
globales sur cette grande question.
b)
Si la raison d'un cours d'Analyse réduit
pour l'essentiel à une démarche
algébrique est
"la difficulté des concepts
rencontrés", je suis bien conscient que c'est
une "lapalissade" de le dire. Cependant les textes ont
leur logique: si la France est un des rares pays
développés où un cours consistant sur
les suites existe en classe de première et terminale S; si
l'on y étudie leur monotonie, leur limite
éventuelle, si l'on admet que
les suites monotones et bornées convergent et bien d'autres
propriétés liées à l'ordre
et aux limites de fonction: alors tout cela suppose que, d'une
façon ou d'une autre, on désire que
l'élève acquiert, à ce stade, une
certaine idée des nombres réels; que
l'amorce d'un statut
pour ces nombres, non
définitif, non exhaustif certes,
ait des conséquences fécondes pour la suite de
son cursus mathématique. En effet, si l'on
développe, par des procédés
liés aux suites, l'approche de nombres sur lesquels
l'élève n'a aucune idée
précise; alors c'est du temps perdu et il n'en restera rien,
une fois oubliés les exercices types posés au
Baccalauréat. Cette réflexion me conduit
à la nécessité de poser
en TS un procédé " relativement
simple" qui permet de définir un réel dans le
cadre d'une démonstration ; je choisis la limite commune de
deux suites adjacentes qui est en accord avec le programme
actuel(Juin94).
L'expérience m'a montrée que
l'élève accepte bien cette
propriété, alors que la
propriété de
la borne supérieure ne passe pas, pour
avoir essayé celle ci, il y a quelques années,
lorsqu'on définissait l'intégrale de Riemann en
TC.
c) Partant
de là, j'essaie de
montrer dans ce travail, déjà
expérimenté partiellement ou totalement, selon
les années, avec mes élèves (TC ou
spécialité Math), que l'on peut
démontrer certains résultats importants du cours
d'Analyse élémentaire et non les admettre
systématiquement. Je reste bien entendu fidèle
à l'esprit et à la lettre des programmes actuels
( Juin94).
1-
Pour ce travail de
démonstration, cela suppose un temps de la classe pendant
lequel le maître explique, démontre au tableau, il
tient la parole et la donne et la reprend, "il fait cours". Pour
certains, ce temps est désormais inutile ou mineur; je ne
suis pas d'accord. Il est vrai que l'enseignant est en recherche
permanente d'un équilibre entre d'une part, l'action de
communiquer un savoir, par les explications, les
démonstrations qu'ils développent devant ses
élèves, et d'autre part l'activité que
génère chez l'élève
l'acquisition de ce savoir et des savoir-faire qui en
découlent. Ce travail est difficile, il n'y a pas de
véritable recette, le" public" change physiquement chaque
année, mais aussi évolue avec son
époque. Avec chaque nouveauté technique, on a
essayé de trouver "un système" pour enseigner: le
rétroprojecteur, les cours à la
télévision, la télévision
dans la classe, la calculatrice, l'ordinateur; mais ces moyens sont
apparus assez rapidement comme des aides, intéressantes
certes, facilitant certaines tâches,
parfois indispensables, mais le maître est
toujours dans la classe. Lorsque l'élève
s'exprime, et il doit le faire, se sentir libre de le faire pour
soulever les questions, le maître reste son interlocuteur
privilégié, car il détient le savoir,
avec la responsabilité que cela incombe. Tomber dans
l'excès de l'un de ces deux aspects de notre tâche
a été, et sera toujours, à mon sens,
préjudiciable à l'élève.
L'activité nécessaire
de l'élève, même sous
contrôle d'un enseignant, ou l'aide d'une machine
ne saurait résumer à elle seule l'action
d'enseigner.
2-
Démontrer
oui, mais démontrer quoi
? Il est bien certain qu’on ne peut traiter de
l’Analyse définitivedans
le secondaire. Les concepts, souvent difficiles, doivent être
dégagés progressivement ; en ménageant
des étapes au-delà desquelles,
l’élève, fut-il excellent, perdrait le
sens. Ces erreurs ont été faites par le
passé; par exemple en 1972 avec les limites
et
l’intégrale de Riemann... et la borne
supérieure. Cependant, en TS, (
Spécialité-Math ), je pense qu’il est
temps d’amorcer certaines
« ruptures » avec la pratique de
l'enseignement de l'Analyse en terminale Scientifique. La
difficulté des concepts exposés, de toute
façon, demeurera longtemps encore sur de nombreux points;
mais est-ce vraiment dramatique? Qui a saisi tout
de suite, après leur construction en Bac+1, toute la
richesses et la complexité des réels? Un autre
grand problème: dans le cursus scolaire, une
difficulté est de trouver le bon moment
pour parler des limites et avec quel degré
d'approfondissement? Mais en parler au Lycée sans pouvoir
les utiliser dans le contexte d'une démonstration en TS,
comme c'est le cas puisque nous ne disposons que de conditions
suffisantes
c'est certes respecter une progression prudente, mais en
créant des comportements qui vont perdurer dans
l'après bac. On pourrait au Lycée donner une
définition de la limite
d'une suite ou d'une fonction en termes de valeurs approchées
à 10
puissance -n près.
Les difficultés répercutées en
D.E.U.G. par les pratiques actuelles en TS, font que, très
souvent, l'étudiant continue d'admettre tout ou partie des
théorèmes importants sur les limites; selon de
nombreux enseignants du Supérieur, il ne construit pas
toujours l'ensemble R, alors que le terrain "devrait" être
préparé avec les suites
étudiées au Lycée; parfois il n'en
connaît pas les propriétés
caractéristiques; les décimaux de sa calculatrice
bornent son horizon pour encore longtemps.
Je
crois
qu'en T.S, certains
résultats, admis actuellement, peuvent faire
l’objet
d’une démonstration; certains
théorèmes,
considérés jusqu’à
présent comme
évidents par l’interprétation
graphique, et ils le
sont très souvent, peuvent entrer dans un processus
déductif. Bien entendu, un tel discours ne peut
être tenu
dans toute les séries terminales au Lycée, mais
n'oublions pas que cette série S doit préparer
certains
de ses élèves aux disciplines scientifiques de
haut
niveau. Cette démarche peut être " volontariste":
le "
ça se voit sur le graphique " n'est plus
déclaré
suffisant pour tous les énoncés; mais il est
préférable, lorsque c'est possible, et c'est
parfois le
cas, de justifier la nécessité d'une
démonstration, dans cette période où
l'élève admet beaucoup de
propriétés.
Enfin, encore faut-il que la motivation pour établir ces
démonstrations, soit forte par l'importance des
conséquences, et ces nouveaux résultats
établis
suffisamment riches en retombées pour la
résolution des
problèmes.
3-La prudence
et la
modération demeurent la règle; le temps
limité et la volonté de ne pas retomber dans
l'excès de formaliste des années 70 sont des
garde-fous suffisants. Il importe donc que ces
« ruptures » avec
l’intuition soient limitées en nombre et
situées dans le contexte des « objectifs
généraux du programme »; ces
derniers étant appréciés unanimement
me semble-t-il. Dans le travail qui suit ici, l’objectif est
de démontrer quelques Théorèmes
importants d'Analyse élémentaire en
TS (Spécialité-Math). Le concept de limite de
suite ou de fonction est supposé avoir
été abordé au
préalable. Pour les démonstrations, je m'appuie,
pour l’essentiel, sur les suites adjacentes. Le
thème est la résolution des équations
du troisième degré. Enfin, le moyen est la
dichotomie.
Résumons
brièvement l'essai.
1) La
recherche de conditions d’existence et
d’unicité d’une solution d'une
équation de degré trois me conduit à
démontrer le théorème dit de
« Bolzano ». Après le
développement de son aspect calculatoire par dichotomie, sa
démonstration, dans la foulée, est riche en
procédés: raisonnement par récurrence;
par disjonction des cas; enfin la propriété que
deux suites adjacentes définissent un réel
unique. Cette étude est facilitée par
l'utilisation de la dérivée pour en
déduire le sens de variation; ce résultat admis
en 1°S, je le démontre dans la suite de cette
même étude.
Il ne s'agit pas là d'un cercle, mais d'une
démarche souvent utilisée dans le cadre de
l'appropriation progressive de la connaissance par
l'élève; rappelons qu'en DEUG,
l'étudiant admet le théorème de
d'Alembert, pour lui intuitif
et signifiant, et il le démontre plus tard en
Licence. C’est
l’occasion, de se familiariser avec des organigrammes pour
quelques routines sur les calculatrices programmables; en accord avec
les nouvelles exigences du programme de Juin 94 sur cette question:
justifier et utiliser tests et boucles. A ce sujet,
l'élève de T.S. ne saurait être un
"consommateur lambda
"
de la calculatrice,
il doit être à même de comprendre les
logiciels les plus simples; ce qui permet de démystifier
l'outil et d'en relativiser les possibilités.
2)
Les conséquences de ce
théorème sont nombreuses et accessibles: le
théorème des valeurs intermédiaires
bien sûr, mais surtout le
cas des fonctions continues et strictement monotones au coeur de notre
contrat en TS, avec, au passage, la définition des fonctions
racines n-ièmes comme fonctions réciproques. Tout
cela constitue une séquence déductive qui
justifie la démarche
de« rupture »
Bien entendu,
il
n’est pas question de démontrer que
l’image d’un segment par une fonction continue est
un segment; la propriété de la borne
supérieure pose trop de difficulté à
l'élève débutant en Analyse
élémentaire. Bien
que cette propriété soit équivalente,
dans R, à la définition d'un réel par
deux suites adjacentes, elle passe très mal
auprès des élèves comme je l'ai dit
plus haut.
3) Avec
des outils nouveaux,
je reviens, sous la forme d’un
problème posé aux élèves,
à la discussion de l’existence et du nombre de
racines réelles de l’équation du
troisième degré; mise, pour simplifier, sous la
forme sans terme du second degré.
Dans
la pratique pédagogique, j’utilise
souvent la démarche de Bruner : stades
manipulatoire
(ici, calculatoire) iconographique et formalisation. L’usage
des calculatrices programmables trouve naturellement sa
place dans ce processus, pour permettre à
l'élève d'avancer par lui même des
"conjectures"; le calcul devient un argument important, au
même titre que le graphe, pour justifier et parfois donner
l'intuition de la démonstration. Je pense à des
routines telles: dichotomie,
suites récurrentes, valeurs d’une
fonction. De plus, cette stratégie est en accord avec le
triptyque en usage actuellement dès la classe de
seconde:« Activité, cours, travaux
pratiques ».
4) Enfin, l’approche
d’une solution par dichotomie montrant sa
« lenteur » relative, il importe
de rechercher des suites convergeant « plus
rapidement » vers la solution de
l’équation. Je pense à la
méthode du point fixe qui exige des connaissances
complémentaires à celles acquises en 1°S,
sur les dérivées. C'est l'occasion d'une nouvelle
séquence déductive où je
développe deux pistes possibles conduisant à une
nouvelle rupture. On peut, en TS, admettre, ou démontrer
simplement, le théorème de Rolle, puis
démontrer l’inégalité des
accroissements finis (c’était le cas il y a
quelques années). Enfin, nouvelle rupture,
démontrer le « principe de
Lagrange » admis en 1°S. C’est
l’ordre habituel.
Désirant
explorer plus avant la dichotomie comme méthode de
démonstration, je développe une autre piste;
d’abord la démonstration du«Principe de
Lagrange » d’où l’on
déduit
l’inégalité des accroissements finis.
Rappelons que
ce dernier résultat est un outil remarquable pour majorer
« Majorer, minorer, encadrer... ».
Donc, le
choix de
cette « rupture » en TS, le
développement de cette deuxième
séquence déductive, me parait largement
justifié, quel que soit la piste utilisée. La
stratégie de Bruner que j’ai rappelée
au 3), utilisée souvent dans cette étude, montre,
je l’espère, qu’on peut
équilibrer le discours du maître et
l'activité de l'élève.
Enfin, remarque importante: à condition de situer cette
étude en TS (Spécialité-Math),
à l'heure où j'écris, tous les
prérequis sont conformes au programme de juin 1994.
C’est l’unique raison de cette restriction
à la spécialité; dans cette
période qui apparaît de plus en plus "en attente
d'une remise à plat de l'enseignement de l'Analyse",
aussi bien dans le secondaire qu'en Bac +1.
Pour
conclure; essayons
d'éviter l'exemple américain, où
l'école publique a cédé, pour les
études de qualité, tout le terrain au "
collège " privé et payant.
Dans cette
essai, je ne prends pas
en compte les modifications des programmes qui
seront en application dès Septembre 98. Dans ce nouveau
contexte, avec la disparition de la continuité et des suites
monotones et bornées, l'Analyse en TS devient radicalement
algébrique et le travail qui suit n'y a plus sa place. Je
pense qu'il s'agit d'une époque de transition, en attente
d'une restructuration nécessaire à terme de
l'enseignement scizentifique au Lycée.
Le
lecteur peut faire remarquer, que par le passé, il n'a
jamais
été question de démontrer des
théorèmes d'Analyse
élémentaire. J’ai
suivi une classe de Mathématiques
élémentaires;
l’Analyse, purement algébrique, se
réduisait
à l’étude des fonctions
polynômes,
rationnelles, et
irrationnelles. Mais, à
l’époque, l’important programme de
géométrie permettait à
l’élève de s’initier
à l’hypothético-déductif
(depuis la 4°), à
l’analyse-synthèse, en fait, au raisonnement
scientifique. Ce qui n’est plus le
cas aujourd’hui, force est de le constater. Ceci dit, sans
esprit passéiste, peut-on rendre plus présente,
aujourd'hui, la
rationalité dans la
démarche des
élèves, notamment
en TS (Spécialité-Math)?
Remarque 3
J’ai
été inspiré, pour le choix de la
dichotomie, par l’article de J.L.
OVAERT
« Dichotomies et
variantes » dans le bulletin Inter-IREM
d’Analyse n°XX paru en 1981.
Remarque4
Les
éléments de solution en annexe ont pour seul
objet de permettre au lecteur d'évaluer rapidement le
degré de difficulté.
Remarque 5
Je précise, ,
s'agissant d'un essai pédagogique, ce qui tient d'une
activité, d'un cours ou de travaux pratiques. Pour une plus
grande clarté, j'encadre tous les textes destinés
à l'attention des élèves pour une
mémorisation ou un travail personnel :
énoncés, définitions,
activités et travaux
pratiques.
