LES CINQ SOLIDES DE PLATON PAR JACQUES HADAMARD

Hadamard démontre en 1905, pour la 1° fois à l'aide des transformations ( ici les isométries de l'espace) et de la géométrie sphérique, qu'il existe cinq polyèdres réguliers seulement, appellés "les solides de Platon". Le texte commente sa démonstration en l'accompagnant de figures réalisées avec le logiciel Géospacew

quelques figures issues du texte


Triangle sphériques isocèles	constructions du dodécaèdre régulier par les isométries de l'espace

action d'une rotation d'axe Sq sur le dièdre initial ( fig2)	dodécaèdre régulier

icosaèdre régulier ( 20 faces )	Le dodécaèdre et son dual l'icosaèdre inscrit : les sommets du second sont les centre des faces du premier.

JACQUES HADAMARD

LES POLYEDRES.

In " Leçons de géométrie élémentaire ; II géométrie dans l'espace " par Jacques HADAMARD (1901), réédité chez Jacques Gabay en 1988.

COMMENTAIRE DU TEXTE ACCOMPAGNE DE FIGURES GEOSPACW

Jean-Pierre Daubelcour

IREM de LILLE

14/04/2003

Sommaire

1° PARTIE : (Chap V. Livre V) . Angles dièdres- plans perpendiculaires.( page5)

I Définitions des dièdres et orientation
II Plans perpendiculaires

2° PARTIE : (Chap VI. Livre V ). Premières notions de géométrie sphérique

généralités sur la sphère

3° PARTIE : (Chap VII. Livre V) . Angles polyèdres – Polygones sphériques

I Généralités : polyèdres et polygones sphériques
        II Relations entre Polygones sphériques et polyèdres.
III Trièdres supplémentaires et triangles polaires.
             IV Cas d'égalités des trièdres( resp. des triangles sphériques)
4° PARTIE : ( ChapI .   Livre VI) : Notions générales sur les polyèdres
               I Définitions
   II Classification

COMPLEMENTS DE GEOMETRIE DANS L'ESPACE

5° PARTIE : (Chap IV.) Aires des Polygones sphériques

I Aire du Fuseau sphérique

II Aire d'un triangle sphérique

6°PARTIE : (Chap V.) Théorème d'Euler. Polyèdres réguliers

I Limitations imposées au polyèdres.
II Section d'une surface polyédrale.
      III Surface( ou aire) simplement connexe
               IV Théorème d'Euler
  IV Bis Angles Polyèdres et Rotations
              V polyèdres réguliers
              VI Rotations et symétries d'un polyèdre régulier
             VII Exemple : Rotations et symétries du cube
              VIII Exemples Rotations et symétries d'un tétraèdre régulier
            IX Polyèdres réguliers réciproques( ou duals)
               X Les solides de Platon
   XI Construction d'un dodécaèdre régulier

A. Principe

B. Réalisation avec le logiciel Géospacw

C. Le dual : l' icosaèdre régulier

D. Calculs des dimensions des polyèdres réguliers

Annexe I . Texte d'une figure géospacw
Annexe II " Construction du dodécaèdre régulier par Euclide

Préambule

Ce travail s'inscrit dans le cadre d'une étude historique des concepts de géométrie dans l'espace d'Euclide à nos jours (concept d'égalité, d'orientation, d'espace etc…) destinée à une liaison "terminale-post bac". Les Polyèdres, par les régularités qu'on peut leur imposer, tiennent une place de choix. Dans cette première partie, l'objectif est réduit à l'études des polyèdres réguliers. A cette fin, nous commentons l'œuvre de Jacques Hadamard sur les polyèdres jusqu'au théorème d'Euler et la construction des solides de Platon, en l'accompagnant de nombreuses figures exécutées avec le logiciel GéospaceW.

L'originalité d'Hadamard consiste à démontrer certaines propriétés des polyèdres en utilisant les polygones correspondant sur une sphère. Son ouvrage se caractérise également par sa relative simplicité, à la fois dans la méthode suivie et les démonstrations. Le vocabulaire utilisé par Hadamard est assez proche, en géométrie dans l'espace, de celui que nous utilisons actuellement.

Compte tenu des objectifs visés, il ne s'agit pas d'un commentaire exhaustive des chapitres portant sur les polyèdres. Cependant nous respectons l'ordre et les méthodes suivis par Hadamard en 1902 :les définitions et des théorèmes sont reconduits exactement, de même que les notations utilisées par l'auteur. Pour éviter toute ambiguïté, les textes originaux d'Hadamard que l'on retrouve dans son ouvrage, figurent en italique dans le développement qui suit. Enfin la variété et le grand nombre de figures, répondent à une volonté d'améliorer la vision dans l'espace et la compréhension des démonstrations en utilisant ici un logiciel très simple :GéospacW.

Ce logiciel, construit par une équipe d'enseignants du CREEM a un intérêt pédagogique remarquable et conjugue simplicité et performance. Nous sommes loin, ici, des logiciels "conviviaux" qui présentent la possibilité de faire des figures sans guère solliciter l' initiative du " dessinateur" ; lequel n'est qu'un exécutant. Ceci peut se comprendre dans le cadre d'une utilisation professionnelle mais pas dans celui d'un apprentissage de la géométrie. Avec géospacW, la figure est construite par l'utilisateur en passant par des étapes obligées. Il ne peut réaliser ces étapes sans connaître les propriétés des droites, plans, sphères et cercles de l'espace. Prenons par exemple la construction d' un "arc mineur" AB de grand cercle d'une sphère de centre S. Le "dessinateur" doit d'abord créer le plan SAB, puis la droite d orthogonale à SAB en S, ensuite il choisit un point u sur d, et considérant l'axe orienté (Su[, il peut enfin tracer l'arc mineur AB définit par son grand cercle et le sens de l'arc autour de (Su[. Pour préciser le mode de fonctionnement de GéospacW, je donne en annexe "le texte géospacw" correspondant à une figure réalisée dans ce travail. Enfin j'ai divisé cette étude en six parties qui correspondent à l'avancement du savoir nécessaire aux objectifs finaux : le théorème d' Euler et les solides de Platon.

Pour obtenir le texte complet en fichier PDF : cliquer sur le lien ci-dessous
Les 5 solides de Platon
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