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| valeurs approchées sinx au voisinage de 0 | Méthode du point fixe |
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| Organigramme pour la méthode par dichotomie pour résoudre une équation du 3° degré |
IREM DE
Lille
CHAPITRE
I : LES NOMBRES
REELS COMME DEVOPPEMENT DECIMAL
ILLIMITE.
CHAPITRE II : LIMITES DE
SUITES ET DE FONCTIONS .
CHAPITRE III : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE
REELLE.
CHAPITRE
IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN
INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de
démonstration)
CHAPITRE V : COMPLEMENTS DE
CALCUL DIFFERENTIEL( La dichotomie : outil de calcul et de
démonstration)
CHAPITRE VI : ACCELERATION
DE CONVERGENCE . (Méthodes du point fixe et de
Newton-Raphson)
CHAPITRE
VII : CALCULS D'AIRES ET DEFINITION
DE L'INTEGRALE
CHAPITRE
VIII : CALCULS APPROCHES
D'INTEGRALES
ANNEXE 12
: BREF
HISTORIQUE DE L'ENSEIGNEMENT DE L' ANALYSE AU
LYCEE.
Depuis le début du XX° siècle, l’enseignement de
l’Analyse au lycée a subi bien des évolutions, et des éclipses et des retours.
Depuis 1983 le corpus d’Analyse est devenu prépondérant dans
le cours de mathématiques en classe
terminale scientifique; en même temps s’affirme une
volonté d’ouverture des Lycées d'enseignement général au plus grand
nombre.
Conjointement à cette ouverture du Lycée, on
constate une lente érosion des contenus et
la disparition progressive de la rationalité dans
l'enseignement de cette discipline. Ces évolutions sont nettes à partir
de 1991 en terminale comme je le précise
ci-dessous.
a) L'état des lieux. En Terminale scientifique, le lycéen admet
quasiment tous les théorèmes d'Analyse. Les énoncés des
théorèmes sont précédés d'exemples d'introduction, et suivis d'exercices
d'applications appelés "travaux pratiques". Le processus systématique qui passe
directement de l'énoncé des théorèmes à leur utilisation dans un
processus déductif, lors des " Travaux pratiques", est-il efficace pour
l'acquisition d'un savoir ? Est-ce raisonnable d'appliquer systématiquement des
propriétés ou des concepts dont très souvent l'élève n'a pas
saisi le sens, la finalité ? Certains assurent qu'à l'occasion de ces T.P, il "
Démontre" et "Déduit". Mais alors comment expliquer ses
difficultés à raisonner, à suivre une démonstration, à en reconnaître la
légitimité même, raisonner ,constatées en terminale et dans
les cursus scientifiques post-bac ? Si on veut bien reconnaître qu'il y a là un
problème, qu'il se pose bien avant la terminale, que les enseignants
post-bac en signalent les effets néfastes; une réflexion s'impose. Certes
les raisons en sont multiples, conjoncturelles, pour éclairer le sujet, faisons
un bref retour en arrière.
- Dans les années 1970-80, les concepteurs affirme leur
volonté d'une construction de type "Bourbakiste" au
travers d'une généralisation excessive du vocabulaire de la théorie des
ensembles associée à l'abus des structures algébriques. Ce
bouleversement, de la maternelle à l'université,
conduit à un enseignement des mathématiques trop formel pour les lycéens
et coupé des utilisateurs des mathématiques. Je n'y reviens
pas, le sujet a été très bien et très souvent traité. Un changement s'imposait,
il se fit de façon restrictive et également excessive par
réaction : la "contre-réforme" au début des années 80. Bien
que ce soit au détriment de la géométrie et par la suppression radicale de
toutes les structures, la prépondérance donnée à l'Analyse est accompagnée d'une
grande cohérence, tenant compte des nouveaux outils,
l'ordinateur ou la calculatrice programmable. Les arguments avancés par les
concepteurs de ces nouveaux programmes ( 1983 pour la terminale scientifique)
sont très pertinents.
Mais hélas, 10 ans plus tard on
ne peut que constater un appauvrissement considérable des exigences : on peut
dire, en caricaturant ,que le programme de 94 n'est que le squelette de celui de
83. Je veux d'abord retenir, dans le programme de juin 94, cette opposition à
toute formalisation de l'Analyse, ce refus quasi systématique de toute
"Démonstration" de théorème important, en Terminale scientifique. Ceci conduit à
un passage, quasi direct, de l'activité préparatoire à
l'application des propriétés admises. Ce constat soulève le bien fondé d'un tel
enseignement : les élèves qui se destinent à une formation de
mathématicien, de physicien ou plus généralement à un enseignement scientifique
de haut niveau y sont-ils suffisamment préparés ? Argumentons avec l'esprit
d'ouverture qui n'écarte pas la conviction.
- Beaucoup d'enseignants de Lycée ont compris très tôt, que la terminale
C qui tenait ce rôle était condamnée à terme. En effet, après "le Collège
unique", l'ouverture du "savoir" au plus grand nombre, objectif de toute
véritable démocratie, s'est faite en grande
partie par l'augmentation des effectifs des classes de
seconde des Lycées d'enseignement général. Cette évolution
brutale à conduit la classe de TC a devenir, progressivement, par la force des
choses, une classe refuge des "bons élèves", quelques soient par ailleurs leurs
aptitudes en Mathématiques ou en Physique. Elle fut taxée d'élitisme, appelée
"voie royale" et sa suppression en 1994 apparut alors comme une nécessité.
Pouvait-on l'éviter ?
Etait-il possible d'accompagner cette démocratisation du Lycée d'une plus grande
diversité des filières du baccalauréat plus adaptées aux talents et aux besoins
de l'ensembles des lycéens ?
La restructuration des sections se
réalise depuis
le début des années 1990 dans le cadre de " la
Rénovation des Lycées "; une grande réforme qui a
mobilisé bien des législateurs successifs. Cette
réforme a généré une série L, bien
conçue et équilibrée, qui permet à un bon
élève "littéraire" d'atteindre un excellent niveau
de savoir, qu'il soit scolaire ou acquis dans son milieu d'origine. En
Sciences, sous le prétexte de retarder le plus possible
l'orientation des élèves, la diversification des
filières prend la forme perverse de l'uniformité. Depuis
la suppression de la TC en 1994, l'élève de TS(terminale
scientifique regroupant les anciennes TC et TD, pour atteindre un
niveau de compétence identique dans les trois grandes
disciplines scientifiques: S.V.T.,
Physique-Chimie et Mathématiques, est condamné au "
bachotage". Ajoutons à cela que sa compétence doit égaler
pratiquement celle de son collègue de la série L dans la plupart des disciplines
littéraires: Français en première; puis, en terminale, dissertation en
Philosophie, dissertation en Histoire-Géographie (même programme que les TL mais
avec une heure de cours en moins bien sûr), enfin Première Langue étrangère à
l'écrit. Où trouvera-t-il, entre deux "devoirs surveillés ",
le temps de lire un article, de "réfléchir" tout simplement? Il est alors
évident que l'enseignement de spécialité en mathématiques de 2 heures par
semaines ne peut changer la donne initiale : l'acquisition d'un
savoir mathématique est remplacée par un apprentissage ; qui
plus est, souvent réduit à des
"recettes". Quant aux élèves de
TSE, série destinée aux futurs étudiants en sciences économiques, leur
bagage mathématique se révèle insuffisant
lors des études supérieures. Ma conclusion est qu'en définitive la
massification des Lycées semble s'être réalisée au détriment d'une réelle
démocratisation. J'entend par une réelle démocratisation, celle qui permet à
chaque élève, du plus petit au plus grand des Lycées de France et de Navarre,
d'atteindre les objectifs correspondants à ses désirs et ses capacités, même si
celle-ci sont élevées. Ce n'est plus le cas, je l'ai constaté dans les drnières
années d'enseignement en terminale.
Cela dit, je suis très conscient que le problème de
l'enseignement entre 16 et 18 ans, et au plus grand nombre, est difficile et
dépasse de beaucoup l'hiatus que je viens de dénoncer entre les séries L et S.
Il se pose dans la plupart des pays développés. Pour la charnière
Terminale-Postbac, je renvoie à l'ouvrage de Pierre LEGRAND:
"Le Bac chez nous et ailleurs" où l'on trouvera des réponses
plus globales sur cette grande question.
b) Le domaine des possibles. Si la raison d'un cours d'Analyse réduit pour
l'essentiel à une démarche algébrique est
"la difficulté des concepts rencontrés", je suis bien conscient que
c'est une "lapalissade" de le dire. Est-il possible au Lycée,
dans une terminale scientifique qui devrait s'adresser aux futurs étudiants des
universités en sciences physiques, en mathématiques ou aux futurs ingénieurs de
rétablir une certaine rationalité ? Si l'on désire conjuguer les développements
algorithmiques et les démonstrations, il est nécessaire de disposer d'une
"définition simple" mais opératoire des réels. L'expérience m'a montrée qu'il
est raisonnable d'admettre la proposition "toute suite croissante et majorée
converge" ou " la limite commune de deux
suites adjacentes de nombres rationnelsou qu'une suite d'intervalles emboîtés
définit un réel unique ". La représentation des nombres sur la droite
géométrique favorise l'acquisition du sens de cette propriété. Il n'en est pas
de même pour l'axiome de la borne supérieure qui ne "passe
pas" comme nous en avons fait l'expérience en 1972 lorsqu'on
définissait l'intégrale de Riemann en TC.
- Démontrer oui, mais démontrer quoi ? Il est bien
certain qu’on ne peut traiter de l’Analyse définitivedans le secondaire. Les
concepts, souvent difficiles, doivent être dégagés progressivement ; en
ménageant des étapes au-delà desquelles, l’élève, fut-il excellent, perdrait le
sens. Ces erreurs ont été faites par le passé; par exemple avec les limites et
l’intégrale de Riemann... et la borne supérieure. Cependant, en Terminale
scientifique, je pense qu’il est temps d’amorcer certaines
« ruptures » La difficulté
des concepts exposés, de toute façon, demeurera longtemps encore sur de nombreux
points; mais est-ce vraiment dramatique? Qui a saisi tout de suite, après leur
construction en Bac+1, toute la richesses et la complexité des réels? Un autre
grand problème: dans le cursus scolaire, une difficulté est de trouver le bon
moment pour parler des limites et avec quel degré
d'approfondissement? Mais en parler au Lycée sans pouvoir les utiliser dans le
contexte d'une démonstration en TS, comme c'est le cas puisque nous ne disposons
que de conditions suffisantes c'est certes respecter une progression prudente,
mais en créant des comportements qui vont perdurer dans l'après bac. On peut au
Lycée donner une définition de la limite d'une suite ou d'une
fonction en termes de valeurs approchées à 10 puissance -n.
Cela est d'autant plus nécessaire que les pratiques actuelles engendre de
sérieuses difficultés en D.E.U.G. ou en classe préparatoire
tant au niveau des savoirs que de la pratique du raisonnement et des
démonstrations.
Je crois qu'en T.S, certains
résultats, admis actuellement, peuvent faire l’objet
d’une démonstration; certains théorèmes,
considérés jusqu’à présent comme
évidents par l’interprétation graphique, et ils le
sont très souvent, peuvent entrer dans un processus
déductif. Bien entendu, un tel discours ne peut être tenu
dans toute les séries terminales au Lycée, il s'adresse
en priorité aux futurs étudiants en mathématiques,
Physique ou en classe préparatoire Cette démarche peut
être " volontariste": le " ça se voit sur le graphique "
n'est plus déclaré suffisant pour tous les
énoncés; mais il est préférable, lorsque
c'est possible, et c'est parfois le cas, de justifier la
nécessité d'une démonstration, dans cette
période où l'élève admet beaucoup de
propriétés. Enfin, encore faut-il que la motivation pour
établir ces démonstrations, soit forte par l'importance
des conséquences, et ces nouveaux résultats
établis suffisamment riches en retombées pour la
résolution des problèmes.
-La
prudence et la modération demeurent la règle; le temps limité et la volonté de
ne pas retomber dans l'excès de formaliste des années 70 sont des garde-fous
suffisants. Il importe donc que ces « ruptures » avec l’intuition
soient limitées à la démonstration de quelques théorèmes
importants d'Analyse élémentaire en
Terminale scientifique.
